Elips çevresi hesaplama: yarı büyük (a) ve yarı küçük (b) eksenden Ramanujan 2 yaklaşımı ile hassas çevre, 3 farklı yaklaşım karşılaştırması ve eksantriklik.
Elips çevresi hesaplama: yarı büyük (a) ve yarı küçük (b) eksenden Ramanujan 2 yaklaşımı ile hassas çevre, 3 farklı yaklaşım karşılaştırması ve eksantriklik.
Elipsin çevresi için kapalı bir formül yoktur; en yaygın hassas yöntem Srinivasa Ramanujan'ın 1914'te yayımladığı yaklaşımlardır. Bu araç yarı büyük eksen (a) ve yarı küçük eksen (b) değerlerinizden Ramanujan 2 (hata < %0,0001) sonucunu birincil olarak verir; ayrıca basit π·(a+b) ve Ramanujan 1 yaklaşımlarını yan yana karşılaştırmalı tablo ile gösterir. Eksantriklik (e) otomatik hesaplanır; daire (a = b) elipsin özel halidir ve çevre 2πr'ye eşittir.
Elips Çevre Hesaplama (Ramanujan Formülü) aracı veritabanında yayında görünüyor; hesaplama bileşeni bu sürümde henüz devreye alınmadı veya dağıtım güncelleniyor. Kısa süre içinde kullanıma açılacaktır.
Tüm hesaplamalara dönElipsin çevresi için tam kapalı formül yoktur; integralle ifade edilir ve elemanter olarak çözülemez. Pratikte Ramanujan 2 yaklaşımı kullanılır: C ≈ π·(a+b)·[1 + 3h/(10+√(4−3h))], h = ((a−b)/(a+b))². Hata oranı tüm geçerli elipsler için %0,0001'in altındadır.
Elipsin yay uzunluğu, ikinci tür eliptik integral (∫√(1−k²sin²θ)dθ) gerektirir. Bu integral kapalı formda elemanter fonksiyonlarla yazılamaz. Bu yüzden Ramanujan, MacLaurin serisi ve Cantrell gibi yaklaşımlar kullanılır.
Ramanujan 2 (1914): C ≈ π·(a+b)·[1 + 3h/(10+√(4−3h))], burada h = ((a−b)/(a+b))². Basit yaklaşım: C ≈ π·(a+b). Eksantriklik: e = √(1−b²/a²). Bu araç a ve b değerlerinden 3 yaklaşımı paralel hesaplar.
Ramanujan'ın 1914 yılında yayımladığı ikinci yaklaşımının hatası, geçerli tüm elipsler için %0,0001'den (1 milyonda 1) küçüktür. Bu yüzden mühendislik, mimari ve astronomi hesaplarında tam değer kabul edilir.
e = √(1−(b/a)²). 0 ise daire (a=b), 1'e yakınsa elips uzar ve doğru parçasına yaklaşır. Yörünge mekaniğinde gezegen yörüngeleri eksantriklikleri ile sınıflandırılır (Dünya: e ≈ 0,017).
Daire elipsin özel halidir (a = b = r). Bu durumda Ramanujan formülü 2πr'ye sadeleşir ve klasik çember çevresi formülü ile aynı sonucu verir. Bu, Ramanujan formülünün sınırda doğru olduğunun bir kontrolüdür.
Sadece a ≈ b iken (yani dairesele yakın elips); fark büyüdükçe hata hızla artar. Örnek: a=10, b=1 için basit formülün hatası %18 civarında negatiftir (gerçek çevreden düşük). Pratik mühendislik hesapları için kullanılmamalı.
Evet. a = b = r olduğunda h = 0 olur, Ramanujan 2 formülü C ≈ π·(2r)·[1 + 0] = 2πr'ye sadeleşir. Klasik çember çevresi formülü ile aynıdır.
Evet, mühendislik ve mimari uygulamaları için Ramanujan 2 yeterli kabul edilir. Astronomi ve özel uygulamalarda daha yüksek hassasiyet (Cantrell serisi, sayısal integral) gerekirse ek yöntem kullanılır.